مدل‌سازی

مدل خطی دو متغیره

مثال تولید رنگ

یک کارخانه تولید رنگ دو نوع رنگ داخلی و خارجی تولید می‌کند که در آن‌ها از دو ماده اولیه استفاده می‌شود. جدول زیر جزئیات تولید هر محصول و مصرف مواد اولیه در آن را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که تقاضای بازار برای رنگ داخلی نمی‌تواند بیش از یک تن از تقاضای رنگ خارجی بیشتر باشد. همچنین، حداکثر تقاضای روزانه برای رنگ داخلی دو تن است. برنامه‌ریزی تولید رنگ‌های داخلی و خارجی را با هدف بیشینه‌سازی سود انجام دهید.

	رنگ خارجی	رنگ داخلی	ظرفیت روزانه انبار
مواد اولیه ۱	6	4	24
مواد اولیه ۲	1	2	6
سود در هر تن (هزار دلار)	5	4

متغیرهای مستقل

• \(x_1\): تولید رنگ خارجی
• \(x_2\): تولید رنگ داخلی

مدل

\[\begin{align} Maximize\ z = 5x_1 + 4x_2 \\ \\ subject\ to \\ 6x_1 + 4x_2 \leq 24 \\ x_1 + 2x_2 \leq 6 \\ x_2 - x_1 \leq 1 \\ x_2 \leq 2 \\ \\ x_1, x_2 \geq 0 \\ \end{align}\]

حل ترسیمی

حل توسط اکسل

فعال‌سازی Solver در اکسل

مثال برنامه غذایی

یک کارخانه دامپروری روزانه ۸۰۰ پوند از یک ماده غذایی خاص استفاده می‌کند. این ماده غذایی مخلوطی از سویا و ذرت با ترکیبات زیر است.

ماده غذایی	پروتئین	فیبر	هزینه
ذرت	0.09	0.02	0.30
سویا	0.60	0.06	0.90

طبق الزامات استاندارد این ماده غذایی بایستی شامل حداقل ۳۰ درصد پروتئین و حداکثر ۵ درصد فیبر باشد. طرح اختلاط بهینه را تعیین کنید.

متغیرهای مستقل

• ذرت: \(x_1\)
• سویا: \(x_2\)

مدل

\[\begin{align} Minimize\ z = .3x_1 + .9x_2 \\ \\ subject\ to \\ x_1 + x_2 \geq 800 \\ .09x_1 + .6x_2 \geq .3(x_1 + x_2) \\ .02x_1 + .06x_2 \leq .05(x_1 + x_2) \\ \\ x_1,x_2 \geq 0 \end{align}\]

حل ترسیمی

حل توسط اکسل

مثال سیاست گذاری وام بانکی

یک بانک در پی طراحی یک سیاست جدید اعطای وام به مبلغ حداکثر ۱۲ میلیون دلار است. مشخصات انواع وام این طرح در جدول زیر ارائه شده است

نوع وام	نرخ بهره	بدحسابی
شخصی	0.140	0.10
اتومبیل	0.130	0.07
مسکن	0.120	0.03
کشاورزی	0.125	0.05
کسب و کار	0.100	0.02

بدحسابی غیرقابل برگشت بوده و درآمدی از بهره ایجاد نمی‌کند. شرایط رقابتی ایجاب می‌کند که حداقل ۴۰ درصد از وام به کشاورزی و کسب و کار تخصیص یابد. برای کمک به صنعت مسکن بومی وام مسکن بایستی حداقل ۵۰ درصد وام شخصی و خودرو و مسکن باشد. مقدار کل بدحسابی نبایستی از ۴ درصد بیشتر باشد.

متغیرهای مستقل

• \(x_1\): وام شخصی
• \(x_2\): اتومبیل
• \(x_3\): مسکن
• \(x_4\): کشاورزی
• \(x_5\): کسب و کار

مدل

• بهره کل = \(.14(.9x_1) + .13(.93x_2) + .12(.97x_3) + .125(.95x_4) + .1 (.98x_5)\)
• بد حسابی = \(.1x_1 + .07x_2 + .03x_3 + .05x_4 + .02x_5\)

\[\begin{align} Maximize\ z = .14(.9x_1) + .13(.93x_2) + .12(.97x_3) + .125(.95x_4) + .1 (.98x_5) \\ - (.1x_1 + .07x_2 + .03x_3 + .05x_4 + .02x_5) \\ \\ subject\ to \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \leq 12 \\ x_4 + x_5 \geq .4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) \\ x_3 \geq .5(x_1 + x_2 + x_3) \\ .1x_1 + .07x_2 + .03x_3 + .05x_4 + .02x_5 \leq .04(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) \\ \\ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{align}\]

حل توسط اکسل

مثال برنامه‌ریزی کنترل و انبار

در تدارک فصل زمستان یک شرکت تولید پوشاک، کاپشن، کت، شلوار و دستکش تولید می‌کند. همه محصولات چهار مرحله برش، آستر، دوخت و بسته‌بندی را طی می‌کنند. این شرکت یک قرارداد تولید بسته که مشخصات آن به قرار جدول زیر است. در این قرارداد به ازای عدم تحویل هر یک از اقلام جریمه در نظر گرفته شده است. برنامه بهینه تولید را بنویسید.

مرحله	کاپشن	کت	شلوار	دستکش	ظرفیت
برش (ساعت)	0.30	0.30	0.25	0.15	1000
آستر (ساعت)	0.25	0.35	0.30	0.10	1000
دوخت (ساعت)	0.45	0.50	0.40	0.22	1000
بسته‌بندی (ساعت)	0.15	0.15	0.10	0.05	1000
سفارش (عدد)	800	750	600	500
سود (دلار)	30	40	20	10
جریمه (دلار)	15	20	10	8

متغیرهای مستقل

• \(x_1\): تعداد تولید کاپشن
• \(x_2\): تعداد تولید کت
• \(x_3\): تعداد تولید شلوار
• \(x_4\): تعداد تولید دستکش
• \(s_1\): جریمه کسری کاپشن
• \(s_2\): جریمه کسری کت
• \(s_3\): جریمه کسری شلوار
• \(s_4\): جریمه کسری دستکش

مدل

• سود خالص = سود کل - جریمه کل
• سود کل = \(30x_1 + 40x_2 + 20x_3 + 10x_4\)
• جریمه کل = \(15s_1 + 20s_2 + 10s_3 + 8s_4\)

\[\begin{align} Maximize\ z = 30x_1 + 40x_2 + 20x_3 + 10x_4 \\ - (15s_1 + 20s_2 + 10s_3 + 8s_4) \\ \\ subject\ to \\ x_1 + s_1 = 800 \\ x_2 + s_2 = 750 \\ x_3 + s_3 = 600 \\ x_4 + s_4 = 500 \\ .30x_1 + .30x_2 + .25x_3 + .15x_4 \leq 1000 \\ .25x_1 + .35x_2 + .30x_3 + .10x_4 \leq 1000 \\ .45x_1 + .50x_2 + .40x_3 + .22x_4 \leq 1000 \\ .15x_1 + .15x_2 + .10x_3 + .05x_4 \leq 1000 \\ \\ x_1, x_2, x_3, x_4, s_1, s_2, s_3, s_4 \geq 0 \end{align}\]

حل توسط اکسل

مثال برنامه‌ریزی تولید پنجره

یک شرکت ساخت پنجره قرار است در شش ماه آینده ۱۰۰، ۲۵۰، ۱۹۰، ۱۴۰، ۲۲۰ و ۱۱۰ پنجره بسازد. هزینه تولید که شامل کارگر مصالح و تجهیزات است در شش ماه آینده به ترتیب برابر با ۵۰، ۴۵، ۵۵، ۴۸، ۵۲ و ۵۰ دلار به ازای هر پنجره می‌باشد. این شرکت می‌تواند در یک ماه بیش از میزان تقاضا تولید نموده و آن را در انبار ذخیره کرده و در ماه‌های بعد تحویل دهد. هزینه انبارش به ازای هر پنجره ۸ دلار در ماه می‌باشد. برنامه تولید بهینه را بنویسید.

جدول داده‌ها

ماه	1	2	3	4	5	6
هزینه تولید	50	45	55	48	52	50
هزینه انبار	8	8	8	8	8	8
تعداد سفارش	100	250	190	140	220	110

متغیرهای مستقل

• \(x_i\): تعداد تولید در ماه \(i\)
• \(s_i\): تعداد انبار در ماه \(i\)

مدل

• هزینه کل = هزینه تولید + هزینه انبار
• هزینه تولید = \(50x_1 + 45x_2 + 55x_3 + 48x_4 + 52x_5 + 50x_6\)
• هزینه انبار = \(8(s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6)\)

\[\begin{align} Minimize\ z = 50x_1 + 45x_2 + 55x_3 + 48x_4 + 52x_5 + 50x_6 \\ + 8(s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6) \\ \\ subject\ to \\ x_1 - s_1 = 100 \\ s_1 + x_2 - s_2 = 250 \\ s_2 + x_3 - s_3 = 190 \\ s_3 + x_4 - s_4 = 140 \\ s_4 + x_5 - s_5 = 220 \\ s_5 + x_6 - s_6 = 110 \\ \\ x_i, s_i \geq 0 ; i \in \{1, 2, ..., 6\} \end{align}\]

حل توسط اکسل

مثال برنامه‌ریزی منابع انسانی

یک کارخانه در صدد تولید یک محصول برای چهار ماه آینده است. تعداد سفارش این محصول به ترتیب ۵۲۰، ۷۲۰، ۵۲۰ و ۶۲۰ واحد می‌باشد. این شرکت دارای ۱۰ کارگر ثابت می‌باشد لیکن بنا به نیاز تولید می‌تواندکارگر موقت استخدام یا اخراج کند. هزینه استخدام و اخراج به ترتیب ۲۰۰ و ۴۰۰ دلار می‌باشد. هر کارگر دائم ۱۲ واحد و هر کارگر موقت ۱۰ واحد در ماه تولید می‌کند. این شرکت می‌تواند بیش از مقدار سفارش در ماه تولید نموده و هر واحد باقیمانده را با هزینه ۵۰ دلار در ماه انبار کند. سیاست استخدام و اخراج بهینه را برای چهارماه آینده برنامه‌ریزی کنید.

جدول داده‌ها

	ماه ۱	ماه ۲	ماه ۳	ماه ۴
سفارش	520	720	520	620
هزینه انبار $	50	50	50	50

متغیرها

• \(s_i\): تعداد انبار در ماه \(i\)
• \(h_i\): تعداد استخدام در ماه \(i\)
• \(f_i\): تعداد اخراج در ماه \(i\)

مدل

• هزینه کل = هزینه تولید + هزینه انبار
• هزینه تولید = \(200(h_1 + h_2 + h_3 + h_4) + 400(f_1 + f_2 + f_3 + f_4)\)
• هزینه انبار = \(50(s_1 + s_2 + s_3 + s_4)\)

\[\begin{align} Minimize\ z = 200(h_1 + h_2 + h_3 + h_4) \\ + 400(f_1 + f_2 + f_3 + f_4) \\ + 50(s_1 + s_2 + s_3 + s_4) \\ \\ subject\ to \\ 10(h_1 - f_1) = 400 + s_1 \\ s_1 + 10(h_1 + h_2 - f_1 - f_2) = 600 + s_2 \\ s_2 + 10(h_1 + h_2 + h_3 - f_1 - f_2 - f_3) = 400 + s_3 \\ s_3 + 10(h_1 + h_2 + h_3 + h_4 - f_1 - f_2 - f_3 - f_4) = 500 + s_4 \\ \\ x_i, s_i, h_i, f_i \geq 0; i \in \{1, 2, 3, 4\} \end{align}\]

حل توسط اکسل

مثال برنامه‌ریزی حمل و نقل

شهرداری یک شهر قصد دارد یک طرح اتوبوسرانی عمومی را برای کاهش استفاده از خودروهای شخصی برنامه‌ریزی کند. هدف این طرح پیدا کردن حداقل تعداد آبان اتوبوسی است که بتواند نیازهای حمل و نقل را پوشش دهد. نتیجه مطالعات و جمع آوری اطلاعات نشان داد که حداقل تعداد اتوبوس مورد نیاز برای حمل و نقل مسافر در بازه‌های ۴ ساعته، الگویی مشابه شکل زیر دارد. در صورتی که هر اتوبوس حداکثر ۸ ساعت در روز قادر به سرویس دهی باشد، حداقل تعداد اتوبوس مورد نیاز در هر بازه زمانی را مشخص کنید.

متغیرهای مستقل

• \(x_1\): تعداد اتوبوس‌ها از ۱۲ بامداد\(i\)
• \(x_2\): تعداد اتوبوس‌ها از ۴ صبح\(i\)
• \(x_3\): تعداد اتوبوس‌ها از ۸ صبح\(i\)
• \(x_4\): تعداد اتوبوس‌ها از ۱۲ ظهر\(i\)
• \(x_5\): تعداد اتوبوس‌ها از ۴ بعد از ظهر\(i\)
• \(x_6\): تعداد اتوبوس‌ها از ۸ بعد از ظهر\(i\)

مدل

• تعداد کل اتوبوس‌ها = جمع تعداد اتوبوس در بازه‌های زمانی

\[\begin{align} Minimize\ z = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \\ \\ subject\ to \\ x_1 + x_2 \geq 8 \\ x_2 + x_3 \geq 10 \\ x_3 + x_4 \geq 7 \\ x_4 + x_5 \geq 12 \\ x_5 + x_6 \geq 4 \\ x_1 + x_6 \geq 4 \\ \\ x_i \geq 0; x \in \{1, 2, ..., 6\} \end{align}\]

حل توسط اکسل